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数学证明是数学中最重要的技能之一。在本节中，我们将学习两种重要的证明方法：穷举法（Proof by Exhaustion）和反例法（Counter-example）。这些方法帮助我们验证数学陈述的真假，并建立数学推理的基础。
穷举法 (Proof by Exhaustion)：通过将陈述分解为有限个较小的案例，并分别证明每个案例来证明数学陈述为真的方法。
反例法 (Counter-example)：通过提供一个不满足陈述的例子来证明数学陈述为假的方法。
证明方法的选择原则：
1. 穷举法适用于有限个案例的情况
2. 反例法只需要一个反例就足以推翻整个陈述
3. 一个例子不能证明陈述为真，只能证明一个案例
4. 证明必须从已知事实开始，不能从要证明的陈述开始
题目：证明100到200之间两个连续平方数的和是奇数。
解答：
100到200之间的平方数有：121, 144, 169, 196
计算连续平方数的和：
\(121 + 144 = 265\) （奇数）
\(144 + 169 = 313\) （奇数）
\(169 + 196 = 365\) （奇数）
所有情况都满足条件，因此命题得证。
题目：证明所有平方数要么是4的倍数，要么比4的倍数多1。
解答：
考虑两种情况：
情况1：奇数
设奇数为 \(2n + 1\)，其中 \(n\) 是正整数
\((2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n + 1) + 1\)
\(4n(n + 1)\) 是4的倍数，所以 \(4n(n + 1) + 1\) 比4的倍数多1
情况2：偶数
设偶数为 \(2n\)，其中 \(n\) 是正整数
\((2n)^2 = 4n^2\)
\(4n^2\) 是4的倍数
由于所有整数要么是奇数要么是偶数，所以所有平方数要么是4的倍数，要么比4的倍数多1。
题目：证明以下陈述不成立："两个连续质数的和总是偶数"
解答：
找到反例：2和3都是质数
\(2 + 3 = 5\)
5是奇数，不是偶数
因此原陈述不成立。
题目：证明对于所有正数 \(x\) 和 \(y\)：
\[\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\]
解答：
考虑 \((x - y)^2\)
\((x - y)^2 \geq 0\) （任何数的平方都非负）
展开：\(x^2 + y^2 - 2xy \geq 0\)
由于 \(x\) 和 \(y\) 都是正数，所以 \(xy > 0\)
两边同时除以 \(xy\)：\(\frac{x^2 + y^2 - 2xy}{xy} \geq 0\)
即：\(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2 \geq 0\)
因此：\(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\)
题目：用反例证明当 \(x\) 和 \(y\) 不都是正数时，\(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\) 不成立。
解答：
取 \(x = -3\)，\(y = 6\)
\(\frac{-3}{6} + \frac{6}{-3} = -\frac{1}{2} - 2 = -\frac{5}{2}\)
\(-\frac{5}{2} < 2\)，不满足不等式
因此当 \(x\) 和 \(y\) 不都是正数时，不等式不成立。
在使用穷举法时，必须确保覆盖所有可能的情况。在使用反例法时，只需要找到一个反例就足够了。在证明不等式时，要特别注意变量的取值范围和条件的限制。
通过本节的学习，你应该能够：